湖南公务员

容斥问题是近年来行测考试的热门内容之一，在数学运算中占据较为重要的位置。容斥问题主要研究的是集合间的交叉关系，而考试中容斥问题的考查形式相对固定，难度较小，是数量关系中较为容易拿分的考点。今天中公教育就带领大家一起梳理一下两者容斥问题的相关知识。

【两者容斥】

如果题目中涉及两个集合间交叉关系，需要结合集合之间的关系进行解题，即为两者容斥问题。

计算时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

解题方法

1.公式法：

I=A+B-A∩B+M(M表示非A且非B的部分)

2.文氏图：

【例1】有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人?

A.50 B.51 C.52 D.53

【题目分析】题目中涉及两个集合“数学考试得60分以上的人”和“语文考试得60分以上的人”，由“数学考试得60分以上的人+语文考试得60分以上的人”>学生总数，可知这两个集合之间存在交叉关系，因此可以判定此题为两者容斥问题。题目中给出的信息均为两者容斥公式中的量，将已知信息代入公式，即可求解出答案。

【中公解析】将参加考试的70位观众记作全集I，数学考试得60分以上的人所在集合记作集合A，语文考试得60分以上的人所在集合记作集合B，都不及格的人记作集合M，所求为两门考试都得60分以上的人数，即求A∩B。

将已知信息代入两者容斥公式I=A+B-A∩B+M，得到70=56+62-A∩B+4，解得A∩B=52。

故本题选C。

【例2】某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物理及格的人数比化学及格的人数多10人，且化学及格的人数占全班的60%。已知全班人数不超过70人，问：物理及格的人中化学也及格的有多少人?

A.25 B.26 C.27 D.28

【题目分析】人数一定为整数，已知物理、化学均不及格的人数占全班的比例关系，根据整除性质，可知全班人数的整除特性，然后结合全班人数不超过70人，可确定全班人数。根据问题可知存在交集，即可判定此题为两者容斥问题，利用两者容斥公式进行求解。

【中公解析】物理、化学均不及格的人数占全班的，则全班人数为50的倍数，又因全班人数不超过70人，所以全班一共有50人(I)，物理、化学均不及格的有7人(M)，化学及格的有50×60%=30人(A)，物理及格的有30+10=40人(B)，所求为物理及格的人中化学也及格的有多少人，即A∩B。

将已知信息代入两者容斥公式I=A+B-A∩B+M，得到50=30+40-A∩B+7，解得A∩B=27。

故本题选C。

以上就是本次两者容斥问题的讲解，当然，容斥问题可以出题的知识点还有很多，比如三者容斥、容斥极值，也可与其他类型的题目结合出题，想要彻底掌握容斥问题的全部知识还需要各位同学不断探究。欢迎大家登录中公教育官方网站或下载中公教育APP学习更多有趣的公考知识，中公教育祝愿大家2024旗开得胜!